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练习项目(五)：程序化生成多边形

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概述

本篇是“练习项目”系列的第五篇，主要练习程序化生成各种多边形的例子。这一篇博客，主要都是一些数学知识，这里推荐一个软件：GeoGebra。这个软件可以很方便地画出各种函数的几何表示，对于问题的分析很有帮助。

实例

1、圆形

在UV坐标系中，根据给定的圆心和半径，判断当前片元的UV值到圆心的距离是否小于半径。

主要的代码如下：

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float Circle(float2 center, float radius, float2 uv)
{
	return 1 - step(radius, distance(uv, center));
}

这里对step方法不熟悉的话，可以查一下资料。

代码

2、柔和的圆形

可以看到，上面白色区域与黑色区域的交界非常尖锐，下面会对边界做柔和操作。

主要的改变，就是不再使用step方法，而是使用smoothstep方法。这样，可以在边界处柔和混合两种颜色。

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float SmoothCircle(float2 center, float radius, float smoothWidth, float2 uv)
{
	return 1 - smoothstep(radius - smoothWidth, radius, distance(uv, center));
}

对smoothstep方法不熟悉的，可以查一下其它资料。

代码

3、多边形

这里比较复杂，需要比较多的运算变换，下面一步步来介绍。注意，这里以三角形为例，其它多边形原理相同。

原始的UV坐标系，U和V的值域为\([0,1]\)，如下图所示：

将值域从\([0,1]\)变换到\([-1,1]\)。

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input.uv = input.uv * 2 - 1; //[-1, 1]，(0,0)在正中心

此时，UV坐标系如下图所示：

将直角坐标系转化为极坐标系。

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float a = atan2(input.uv.y, input.uv.x) + PI; //[0, 2π]，将整个界面变成角度分布（极坐标系）

这里要注意 ，atan2函数返回的是原点至点(x,y)的方位角，即与 x 轴的夹角。返回值的单位为弧度，取值范围为\([-\pi,\pi]\)。这里，加上PI是为了把值域转化到\([0,\pi]\)。

对于UV坐标\((1,1)\)来说，相当于逆时针旋转\(\pi\)弧度，向量\(u\)旋转到了向量\(v\)。如下图所示：

根据多边形的变数，把整个圆周均分，得出每条边对于的弧度。

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float r = (2 * PI) / float(_Num); //一条边对应的角度（中心连接边的两个端点）

对于三角形，如下所示：

下面，需要计算向量\(v\)在最近的一条分界边的投影。

先计算经过了几条边：\(a/r\)。

向上取整：\(floor(0.5 + a/r)\)。

计算经过的几条边的所有弧度：\(floor(0.5 + a/r) * r\)。

计算向量\(v\)到最近的一条分界边的弧度：\(floor(0.5 + a/r) * r - a\)。

计算夹角的余弦值：\(cos(floor(0.5 + a/r) * r - a)\)。

得到向量\(v\)在分界边上的投影：\(cos(floor(0.5 + a/r) * r - a) * length(input.uv)\)。

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float d = cos(floor(0.5 + a / r) * r - a) * length(input.uv);

得到投影距离后，与配置的size比较，判断是否在多边形范围内。

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half3 col = 1 - step(_Size, d);

此时，得到的多边形如下：

这样看起来有点不太舒服，翻转XY轴，可以得到如下效果：

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float a = atan2(input.uv.x, input.uv.y) + PI;

最终的效果如下：

代码

4、矩形

这里比较简单，添加一个Vector类型的属性接口，x、y、z、w分别代表矩形区域的四条边与UV四条边的距离。

一个片元到四条边的距离必须都满足条件，才认为在矩形内部。

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//border : (left, right, bottom, top), all should be [0, 1]
float Rect(float4 border, float2 uv)
{
	float v1 = step(border.x, uv.x);
	float v2 = step(border.y, 1 - uv.x);
	float v3 = step(border.z, uv.y);
	float v4 = step(border.w, 1 - uv.y);
	return v1 * v2 * v3 * v4;
}

代码

5、直线

一般直线的方程是\(y = kx + b\)，根据给定的两点\((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)，可以分别求出\(k\)、\(b\)： \[ \begin{cases} k = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) \\ b = y_1 - k * x_1 \\ \end{cases} \] 下一步，就是求平面任意一点到直线的垂直距离。如下图：

直线与X轴正方形的夹角为\(\beta\)，根据相似三角形法则，可以求得：\(cos(\beta) = 1/\sqrt{k^2+1}\)。

同样，根据等角原理，\(\gamma = \beta\)，所以\(cos(\gamma) = cos(\beta)\)。

而任意一点距离直线的距离为\(i\)，距离直线的垂直距离为\(g\)，所以可以求得\(i = g * cos(\gamma)\)。

最后，根据上面求出的距离\(i\)与配置的直线的宽度比较，可以判断一个点是否在直线上。

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float k = (point1.y - point2.y) / (point1.x - point2.x);
float b = point1.y - k * point1.x;

float d = abs(k * uv.x - uv.y + b) / sqrt(k * k + 1);
float t = smoothstep(width/2.0, width/2.0 + aa, d);

代码

6、线段

与上面画直线的原理相同，只是需要根据给定的两点的坐标，把直线“截断”。

代码

7、方程

与上面画直线、线段的思路类似。不过上面是先根据两点计算出直线的方程，这里是直接给出曲线的方程。判断平面上一点是否在曲线上，这里只是简单比较垂直方向的距离，所以曲线的粗细不一致。

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float Equation(float2 uv, float kx)
{
	return smoothstep(kx - 0.01, kx, uv.y) - smoothstep(kx, kx + 0.01, uv.y);
}

代码

8、点

给定一个坐标点和尺寸，判断平面上任意一点是否在区域内。思路是分别判断x、y到坐标点的距离是否都在范围内，只有都在范围内，才认为点在区域内。

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float Point(float2 position, float size, float2 uv)
{
	float2 v = 1 - step(size / 2.0, abs(uv - position.xy));
	return v.x * v.y;
}

代码

9、同心圆

这里先介绍一下\(frac\)函数。\(frac\)函数返回标量或每个矢量中各分量的小数部分。观察下图可以发现，对于函数\(frac(ax)\)，随着\(a\)的增大，线条逐渐变密。

先求出平面上一点距离圆心的距离，然后以距离作为上面的变量\(x\)，以配置的同心圆的数量作为上面的变量\(a\)，当同心圆数量为10时，可以得到下面的图：

可以发现，圆环与圆环之间区域的颜色是有过度的，可以对上面的结果使用\(Step\)函数截取，非黑即白。如下图：

代码

10、多个圆

同样是利用\(frac\)函数。平面上点的X、Y方向的范围都是\([0,1]\)，经过\(frac\)作用后，随着圆的数量的变换如下：

相当于对UV坐标做了\(Scale\)变换。此时，再根据圆心和半径判断一个点是否在圆内。

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float2 st = frac(input.uv * _Num);
half3 col = Circle(_Center, _Radius, st);
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float Circle(float2 center, float radius, float2 uv)
{
	return 1 - step(radius, distance(uv, center));
}

代码

11、多个同心圆

这个比较简单，先执行上面“多个圆”的操作，再执行上面“同心圆”的操作，即可得到效果。

代码

12、同心圆（1）

首先，在9、同心圆的基础上修改圆心为\((0.3,0.3)\)，不进行\(step\)操作，可得到如下图像：

然后，将UV坐标从\([0,1]\)映射到\([-1,-1]\)，即执行：

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float2 st = input.uv * 2 - 1;

可以得到如下图像：

可以看到，是圆心为\((0.3,0.3)\)的同心圆。

下一步，对上面的UV坐标取绝对值操作。相当于第二、三、四象限的图像，都是第一象限图像的镜像。如下图：

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float2 st = abs(input.uv * 2 - 1);

调节Num到合适的值，就可以得到如下图：

代码

13、同心圆（2）

首先，将UV坐标从\([0,1]\)映射到\([-1,-1]\)，即执行：

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float2 st = input.uv * 2 - 1;

直线\(min(st, 0)\)操作，相当于把第二象限“压缩”到X轴负方向，把第四象限“压缩”到Y轴负方向，把第一象限“压缩”到原点，第三象限不变。

然后执行：

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float v = distance(min(st - _Val, 0), _Center);

当\(\_Val = 0\)时，此时，对于第二象限，v只与X的值有关，表现为同一垂直方向图案相同；对于第四象限，v只与Y的值有关，表现为同一水平方向，图案相同；对于第一象限，都“压缩”到了原点，所以v值相同，表现为同一颜色；第三象限正常表现同心圆现象。如下图：

对于\(\_Val\)的改变，相当于是平移了圆心。

调整属性，可以得到如下图像：

再对UV取绝对值，相当于其它三个象限的图像都是第一象限的镜像，可以得到：

代码

14、同心圆（3）

与上面的同心圆（2）的原理基本类似，只是上面是执行\(min\)操作，这里是执行\(max\)操作，其它流程都相同，这里不再赘述。

代码

15、同心圆（4）

首先，将UV坐标从\([0,1]\)映射到\([-1,-1]\)，即执行：

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float2 st = input.uv * 2 - 1;

然后计算平面上每个点到圆心的距离，使用距离和一个阈值执行\(step\)操作，即可得到如下图像：

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float v = distance(st, _Center);
half3 col = step(_Val, v);
return half4(col, 1.0);

再对UV取绝对值，相当于其它三个象限的图像都是第一象限的镜像，可以得到：

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float2 st = abs(input.uv * 2 - 1);

代码

16、同心圆（5）

与上面类似，只是不是使用一个阈值判断，而是使用两个阈值确定一个范围。

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float2 st = abs(input.uv * 2 - 1);
float v = distance(st, _Center);
half3 col = step(_Val, v) * step(v, _Val2);

代码

17、极坐标图案（1）

先对UV坐标进行平移，使\((0,0)\)在UV坐标的中心。

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float2 uv = input.uv - 0.5;

然后，计算平面上每个点的极坐标的角度值。

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float a = atan2(uv.y, uv.x);

对于第一、二象限，a的值域是\([0,\pi]\)，第三、四象限与第二、一象限对称。这里只分析第一、二象限。

对于\([0,\pi]\)的定义域，\(cos\)函数的图像如下图：

可以发现，函数在\([0,\pi]\)范围内是单调递减的。得到的图案的效果是：在第一象限颜色逐渐变暗；在第二象限，由于\(cos\)的值是负值，所以全部是黑色。如下图：

随着Num的变化，逐渐得到如下图案：

代码

18、极坐标图案（2）

首先，将UV坐标的中心移动到原点。

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float2 uv = input.uv - 0.5; //[-0.5, 0.5], make (0,0) in the center

然后，转化为极坐标系，画出\(cos(\theta)\)的图案，如下图：

UV点坐标的长度，其实就是上述整个矩形区域，为了使矩形能完全包含圆形区域，将UV点坐标的长度扩大两倍。

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float r = length(uv) * 2.0;

将UV点长度与极轴的距离做对比，可以发现，在圆形区域内，UV点长度小于极轴的距离，反映在图像上，如下所示：

当\(Num = 2\)时，在坐标系中的关系如下图：

此时，余弦曲线的定义域是\([-2\pi,2\pi]\)，对于X正方形\([0,2\pi]\)范围，有两个大于0的“凸起”，在此范围内，极轴的距离大于UV点的长度；而对于其他小于0的范围，极轴的距离为负值，而UV点的长度始终为正值，所以极轴的距离肯定小于UV点的长度。对于\([-2\pi,0]\)范围，与上面对称，不再赘述。

此时的图案如下图，与上面的分析吻合。

通过调节\(Num\)的值，最终可以得到如下的图案，相关的分析与上面相同。

代码

19、极坐标图案（3）

可以看到，上面得到的极坐标图案（2）边缘处非常锐利。这里将对其进行改善，柔化边缘。使用的方法，主要是使用smoothstep函数替代step函数，然后再添加了一个柔和**_Smooth**属性，其它都基本相同。

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half3 col = smoothstep(f, f + _Smooth, r);

代码

20、极坐标图案（4）

这里，也是在极坐标图案（2）的基础上改的，主要的区别是极坐标曲线不同。

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float f = abs(cos(a)) * 0.5 + 0.3;

代码

21、 极坐标图案（5）

这里，也是在极坐标图案（2）的基础上改的，主要的区别是极坐标曲线不同。

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float f = abs(cos(a * 12) * sin(a * 3)) * 0.5 + 0.3;

代码

22、极坐标图案（6）

这里，也是在极坐标图案（2）的基础上改的，主要的区别是极坐标曲线不同。

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float f = smoothstep(-0.5, 1.0, cos(a * 10)) * 0.2 + 0.5;

代码

23、极坐标图案（7）

这里，也是在极坐标图案（2）的基础上改的，但相比较上面几个，这个更复杂了，牵涉到了图像的并集、补集等。

首先，定义了两个极坐标曲线：

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float f = abs(cos(a)) * 0.5 + 0.3;
float f2 = abs(cos(a * 3));

然后，下面的代码的意思是，子集f在集合r中的补集：

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1 - step(f, r)

而下面代码的意思是，两个补集的并集，即r中不属于f或f2的区域：

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half3 col = (1 - step(f, r)) + (1 - step(f2, r));

下面的代码，得出的是r中属于f或f2的区域：

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col = 1 - col;

最终，可以得到如下图案：

代码

24、并集

这里比较简单，上面介绍了1、圆形和4、矩形，这里是为了得到二者的并集。

1
return Rect(_Border, input.uv) + Circle(_CircleCenter.xy, _CircleRadius, input.uv);

代码

25、差集

与上面类似，不过这里不是求并集，而是求差集，即属于矩形，但不属于圆形的区域。

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return Rect(_Border, input.uv) - Circle(_CircleCenter.xy, _CircleRadius, input.uv);

代码

26、带颜色的差集

在上面差集的基础之上，添加一些颜色。

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float v = Rect(_Border, input.uv) - Circle(_CircleCenter.xy, _CircleRadius, input.uv);
return v * _Color;

代码

27、日出

这里，在1、圆形和17、极坐标图案（1）的基础上改进。

首先，得出极坐标图案和圆形区域：

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float f = cos(a);
float cir = Circle(float2(0.5, 0.5), 0.2, input.uv);

给圆形区域赋予红色：

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half3 circleCol = cir * half3(1,0,0);

对于非圆形区域，对不属于f的区域赋予白色，对属于f的区域赋予颜色half3(0.9,0.9,0)：

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half3 lineCol = (1 - cir) * ((1 - f) + f * half3(0.9,0.9,0));

最后，把圆形区域的颜色和线的颜色相加，即可得到最终效果：

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half3 col = circleCol + lineCol;

代码

28、齿轮

这里，在1、圆形和22、极坐标图案（6）的基础上改进。

首先，得出三个图形区域：

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float v1 = smoothstep(-0.5, 1.0, cos(a * 10)) * 0.2 + 0.5;
float v2 = Circle(float2(0.5,0.5), 0.2, input.uv);
float v3 = 1 - Circle(float2(0.5,0.5), 0.1, input.uv);

然后，先求v1与矩形区域的交集，再求v2和v3之间的交集，最后，求出两个交集之间的并集：

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half3 col = step(v1, r) + v2 * v3;

代码

29、花朵

这里，在1、圆形和22、极坐标图案（4）的基础上改进。

首先，得出三个图像区域：

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float f = abs(cos(a)) * 0.5 + 0.3;
float cir = Circle(float2(0.5, 0.5), 0.15, input.uv);
float cir2 = Circle(float2(0.5, 0.5), 0.13, input.uv);

然后，给“花瓣”着色。1 - cir保证花瓣的函数在大圆之外执行，step(f, r) * step(r, f + 0.1)描边，(1 - step(f, r)) * fixed3(1, 0, 1)花瓣着色。1减去上面的结果，相当于简单的颜色相减。

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half3 col1 = (1 - cir) * (1 - (step(f, r) * step(r, f + 0.1) + (1 - step(f, r)) * half3(1, 0, 1)));

接着，得出中间圆形区域的颜色。先计算cir2之外，属于cir的区域的颜色；再计算cir2区域的颜色。

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half3 col2 = (1 - cir2) * cir * half3(1, 0, 1) + cir2 * half3(1, 0, 0);

最后，得出最终的颜色。

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half3 col = col1 + col2;

代码

参考

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