概述
在渲染管线中的顶点变换中，介绍了顶点在各个坐标空间的变换。变换到最后，是屏幕坐标空间。在OpenGL中，屏幕空间坐标的Z值即是深度缓冲中的深度值。深度缓冲包含了一个介于0.0和1.0之间的深度值，它将会与观察者视角所看见的场景中所有物体的z值进行比较。本文将介绍深度值的计算，以及从深度值反向计算出相机空间中的顶点的Z值。
深度值计算
在渲染管线中的顶点变换中，计算得到了透视投影矩阵： \[ M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{f-n} & \frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \] 同时，也得到了视口变换矩阵： \[ M_{viewport} = \begin{bmatrix} \frac{w}{2} & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \] 首先，根据透视矩阵，计算NDC空间的Z值。这里，相机空间中的坐标经过透视矩阵变换后，还要进行齐次除法，才能得到NDC空间中的坐标。 \[ \begin{pmatrix} x_{clip} \\ y_{clip} \\ z_{clip} \\ w_{clip} \\ \end{pmatrix} = M_{persp} \begin{pmatrix} x_{eye} \\ y_{eye} \\ z_{eye} \\ w_{eye} \\ \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} x_{ndc} \\ y_{ndc} \\ z_{ndc} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{y_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{z_{clip}}{w_{clip}} \\ \end{pmatrix} \]
由此，可以得出： \[ \begin{aligned} z_{ndc} &= \frac{\frac{f+n}{f-n}z_{eye}+\frac{-2nf}{f-n}}{z_{eye}} \\ &=\frac{f+n}{f-n}+\frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)} \end{aligned} \tag{1} \] 根据上述公式，可以得出： \[ z_{eye} = \frac{2nf}{(f+n)-z_{ndc}(f-n)} \tag{2} \] 根据视口变换矩阵，可以得出： \[ z_{win} = \frac{1}{2}z_{ndc}+\frac{1}{2} \tag{3} \]
将\(\left(1\right)\)带入\(\left(3\right)\)，可以得到： \[ \begin{aligned} z_{win} &= \frac{1}{2}(z_{ndc}+1) \\ &=\frac{1}{2}(\frac{f+n}{f-n}+\frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)} + 1) \\ &=\frac{f-\frac{nf}{z_{eye}}}{f-n} \\ &= \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \end{aligned} \]
即： \[ z_{win} = \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \tag{4} \]
到这一步，即可以求得屏幕空间中的深度。
在Learn OpenGL CN学习过的，可能对深度测试这一节的内容有些印象。它得到的深度值的公式是： \[ F_{depth} = \frac{1/z - 1/near}{1/far - 1/near} \] 跟\(\left(4\right)\)式对比，发现有些不一样，这是怎么回事呢？
这里要注意，本文定义的\(n\)、\(f\)和\(z_{eye}\)是实际的坐标值，是负的。而深度测试文中，定义的\(near\)、\(far\)代表了近平面和远平面，而\(z\)代表了近、远平面之间的值，它们都是正的。将\(n=-near\)、\(f=-far\)、\(z_{eye}=-z\)代入\(\left(4\right)\)式，可得： \[ \begin{aligned} F_{depth} &= z_{win} \\ &= \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \\ &= \frac{\frac{1}{-near}-\frac{1}{-z}}{\frac{1}{-near}-\frac{1}{-far}} \\ &= \frac{\frac{1}{z}-\frac{1}{near}}{\frac{1}{far}-\frac{1}{near}} \end{aligned} \]
深度值的线性可视化
经过上面的推导，我们得出了深度值的计算公式。
现在，反过来，我们知道了屏幕空间中的深度值，怎么求出相机空间中的深度值呢？
首先，根据\(\left(3\right)\)，可以推导出： \[ z_{ndc} = 2z_{win}-1 \] 对于公式2，得出的是实际坐标的\(Z\)值。为了和OpenGL中的定义统一，也将\(near\)、\(far\)和\(z\)代入公式\(\left(2\right)\)，可以得到： \[ \begin{aligned} z_{eye} &= \frac{2(-near)(-far)}{((-far)+(-near))-z_{ndc}((-far)-(-near))} \\ &= \frac{2nearfar}{-(far+near)-z_{ndc}(near-far)} \\ \end{aligned} \tag{5} \] 在深度测试这一节中，得出的公式是： \[ float \quad linearDepth = (2.0 * near * far) / (far + near - z * (far - near)); \] 对比发现，跟公式\(\left(5\right)\)有些不一样。这是因为，\(linearDepth\)求出的是顶点距离相机的距离，是正值。而\(z_{eye}\)是顶点的实际坐标，是负值，将\(z_{eye}\)取反，即可得到\(linearDepth\)。 \[ \begin{aligned} linearDepth &= -z_{eye} \\ &= \frac{2nearfar}{(far+near)-z_{ndc}(far-near)} \end{aligned} \] 至此，推导完成。
参考
- [1] 深度测试
- [2] 渲染管线中的顶点变换